Métodos de integracion

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. así, dada una función (fx), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

lo cual, por el teorema fundamental del calculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es una derivada; recordando que una derivada es en una función, el limite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cundo el incremento tiende a cero.

He aquí el formulario de derivadas que utilizaremos como apoyo para la solución de las integrales:

El resolver una integral indefinida es mas complicado que el calcular la derivada de una función, de hecho, no existe algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es mas, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elemental, por ejemplo, no existe una función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de cierto tipo (polinomicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los siguientes:


NOTA: Utilizar el formulario antes proporcionado para ayudar a comprender la resolución de los siguientes ejercicios.

Integración directa

Hay ocasiones en donde es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del calculo de forma directa, esto quiere decir que si se conoce de antemano una función cuya derivada sea a f(x), ya sea por tener una tabla de integrales o por haberse calculado con anterioridad, entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.


Ej:

Calcular la integral indefinida

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de    

 tan(x) es

 

por lo tanto:

ejemplo:  calcular la integral indefinida

una formula estándar de derivadas dice que 

para x>0, de este modo, la solución al problema es

pero hay que tener en cuenta que la formula solo es valida para valores positivos de x. la restricción es lógica, ya que la función In(x) no esta definida para valores reales o negativos o 0. cabe mencionar que para valores negativos también existe una integral indefinida de 

que es In(-x), para incluir ambos casos, se dice que la solucion es: 

El ej. anterior refleja la importancia de saber en que intervalo son validas las formulas encontradas en las tablas de integrales.

He aquí un ej, de integración de directa de una multiplicación.